MATEMÁTICAS IV.

RELACIONES Y FUNCIONES.

RELACIÓN:

Se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

FUNCIÓN:

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

DOMINIO:

El dominio de una función son todos aquellos valores de X (variable independiente) que si los colocamos dentro de la función, la función seguirá siendo válida y definida.

CONTRADOMINIO:

Conjunto de valores posibles de la variable y, conjunto de llegada,  Por lo tanto, si consideramos un conjunto A y un conjunto B, una función es el vínculo que se genera cuando a cada elemento de A (el dominio) le es asignado un único elemento del B (el contradominio).

RANGO.

Valores del contradominio que son imágenes de x.

IMAGEN DE X.

Se define como el conjunto de valores f(x) que toma la variable independiente (x).

REGLA DE CORRESPONDENCIA:

Es un concepto fundamental en matemáticas que se refiere a la relación entre dos conjuntos, donde cada elemento del primer conjunto se relaciona de manera única con un elemento del segundo conjunto. Es la forma en que se define la relación entre los elementos del dominio y los del codominio Puede expresarse mediante una fórmula matemática, una tabla de valores, una descripción verbal o cualquier otro método que especifique cómo se asignan las entradas a las salidas.

Por ejemplo:

La función: f(x)= x²  Tiene una regla de correspondencia que asigna cada número real x a su cuadrado x². Esto significa que si x=2, entonces f(x)=2² .

RAÍZ:

La raíz cuadrada de un número es la operación inversa a elevar una cifra al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 42 = 16. Esta operación se puede enunciar como:

√16 = 4, o

161/2 = 4.

El resultado de calcular una raíz cuadrada es siempre el valor absoluto de un número, o sea, |y|. El motivo es que elevar al cuadrado una cifra positiva da el mismo resultado que con su valor negativo. Siguiendo el ejemplo anterior, 42 da lo mismo que (-4)2, es decir, 16, por lo que la raíz cuadrada puede ser 4 o -4.

Por lo tanto, la raíz cuadrada se representa de la siguiente forma:                              La raíz cuadrada se compone de dos partes: la raíz, con símbolo √, y el radicando, que es el número "x" al que se le aplica la raíz cuadrada. El radicando siempre ha de ser un número positivo, pues ningún número real elevado al cuadrado puede dar un número negativo. Otra propiedad a tener en cuenta es que las raíces cuadradas pueden ser exactas (sin decimales) o no (con decimales).

Tenemos a las :

• Raíces cuadradas con raíz exacta.
• Raíces cuadradas con raíz no exacta

Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de 289

La raíz cuadrada de 289 es exacta, 17.

Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de 12544

DISCRIMINANTE:

FÓRMULA GENERAL: 

Sirve para resolver y hallar raíces.

1. b²-4ac > 0 --- + Cuando es positivo obtenemos 2 raíces diferentes.
2. b²-4ac = 0 ---    Cuando es cero obtenemos una raíz.
3. b²-4ac < 0 ---  - Cuando es negativo no tiene raíces. 

FUNCIÓN INYECTIVA.

Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. 

Formalmente:

Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.

Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva.

Inyectiva vs no inyectiva:

En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:

• Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:

• Por otro lado, la función f(x)=x2 no es inyectiva pues:

• Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:

A la izquierda, una función real inyectiva, frente a una que no lo es, a la derecha. La prueba para determinar si una función real es inyectiva, a partir de su gráfica, consiste en buscar una recta horizontal que pueda cortar a la gráfica en más de un punto. Si la encuentras, como en el caso de la gráfica derecha, la función no es inyectiva. Si no existe ninguna recta así, como en el caso de la izquierda, la función es inyectiva. En cada gráfica se han utilizado dos rectas de prueba.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA:

Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el condominio y el recorrido coinciden. 

Formalmente:

Es decir, para cualquier elemento y del condominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.
Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.

Sobreyectiva vs no sobreyectiva.

A la izquierda, una función sobreyectiva. Como tal, el condominio y el recorrido coinciden. O, dicho de manera más gráfica, todos los elementos del condominio reciben flechas. A la derecha, una función no sobreyectiva. En este caso hay elementos del condominio que no están incluidos en el recorrido. Ambas funciones son no inyectivas, pues ambas cuentan con elementos en el recorrido que reciben más de una flecha.
Por tanto, si te piden una demostración de que una función real es sobreyectiva, puedes hallar la imagen de dicha función. Si la imagen es el conjunto de los reales, la función es sobreyectiva. En caso contrario, no.

Ejemplos:

FUNCIÓN INVERSA:

Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.
Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función: 

No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.
Ejemplo:
a) Para una función g: A à B definida por el siguiente diagrama sagital:

Si f es una función que tiene por dominio al conjunto A y por rango al conjunto B, entonces se llama la función inversa de f , aquella que tiene por dominio el conjunto B y por rango al conjunto A. A la función inversa de f se le denota por Esquemáticamente esto es:

Dada una función , su inversa es otra función, designada por de forma que se verifica que si , entonces :

Para encontrar la regla de correspondencia de la función inversa, se debe despejar x de la función original ya que, para la función inversa, esa es la variable dependiente. En otras palabras se efectúa el procedimiento siguiente:
-   Se define y= f(x)
-   Se intercambia x por y.
-  Se manipula algebraicamente para despejar y que es, es decir, la inversa de la función dada.

FUNCIÓN CRECIENTE:

Cuando el valor de y aumenta si el de x también aumenta, en contraposición a las funciones decrecientes, en las cuales el valor de y disminuye cuando el de x aumenta.

La siguiente figura muestra una función creciente, y se observa claramente que al desplazarse de izquierda a derecha sobre el eje x, el valor de la respectiva coordenada y, equivalente a f(x), va aumentando paulatinamente. Se dice que si para todo x2 > x1, entonces existe y2 > y1.

Los puntos P1 y P2 que se muestran, tienen respectivamente, coordenadas (x1, y1) y (x2,y2). Se definen:
Δy = y2 –y1
Δx = x2 –x1
En esta función, tanto Δy como Δx tienen signo positivo, lo cual significa que y2 > y1 y x2 > x1, respectivamente. Esta es una clara señal de que la función efectivamente crece.

FUNCIÓN DECRECIENTE:

Una función decreciente f es aquella cuyo valor disminuye a medida que aumenta el valor de x. Significa que en un intervalo dado, considerando dos valores x1 y x2 tales que x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2)

Un ejemplo de una función que siempre es decreciente es f(x) = -x3, cuya gráfica se muestra en la siguiente figura:

Aunque algunas funciones como esta se caracterizan por ser decrecientes en todo su dominio, no todas se comportan así, las hay que son crecientes y también aquellas que crecen y decrecen en determinados intervalos del dominio. 

Al estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento se le llama monotonía de la función.

Asimismo, se puede considerar el crecimiento o decrecimiento de la función en un determinado punto del dominio. Pero toda función que sea decreciente en un intervalo dado, lo es también en todo punto que pertenece a él.

FUNCIÓN LINEAL:

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma:

Siendo m≠0.

• m es la pendiente de la función.

• n es la ordenada (en el origen) de la función.

Ejemplo:

Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.

• Si la pendiente es positiva, la función es creciente.

• Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

La pendiente de la recta es m = 2 y la ordenada es n = -1

Ejemplo:
Rectas con pendientes 1, 2, 3 y -1:
Puntos de corte                                                                                           
Una función lineal siempre corta al eje Y en un punto.                                                También, corta al eje X en un punto.                        

                                                                                                                                      El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera coordenada igual a 0:

El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene 0 en la segunda coordenada. Se calcula igualando a 0 la función y resolviendo la ecuación obtenida.
Ejemplo:
Calculamos los puntos de corte de la función del ejemplo anterior:

Corte con el eje Y:

Es el punto:

Observa que la segunda coordenada es la ordenada. Corte con el eje X:

Es el punto:

Función a partir de dos puntos:

Si tenemos dos puntos de la recta, podemos calcular la expresión algebraica de la función. Sólo tenemos que sustituir las coordenadas de los puntos en la forma general de la función.

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL:

Representa la siguiente función, sabiendo que:
Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1.
y = -3x -1

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL:

Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).
La función es: y = mx + n
m = 4, sustituimos el valor de m: y = 4x + n
Un punto es (−3, 2), sustituimos el valor del punto: 2 = 4 · (−3) + n     n = 14
y = 4 x + 14

Representa la siguiente función, sabiendo que:

Para poder graficar de una forma eficiente, elaboramos una tabla donde a la izquierda colocaremos los valores de x (cualquiera que nosotros queramos) y del lado derecho el valor que toma y, después de evaluar el valor asignado a x en nuestra función.

FUNCIÓN CUADRÁTICA: 

Una función cuadrática es un tipo de función matemática donde la variable principal se eleva al cuadrado, es decir, se multiplica por sí misma. En términos más simples, en esta función, la variable principal aparece con un exponente 2.

Propiedades de la función cuadrática:

La función cuadrática forma una parábola simétrica con el eje vertical.

El signo del elemento que contiene el grado indica si se trata de una función convexa o cóncava.

• Si el signo es positivo -> la función tendrá un mínimo en la X, y por tanto, será cóncava. 

• Si el signo es negativo -> la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa.

Gráfico:

Si le sumamos o restamos un número cualquiera, la función se desplaza arriba o abajo, en función del signo:

Si multiplicamos la función por un número cualquiera mayor a 1, la anchura de la parábola se vuelve más pequeña: 

Si dividimos la función por un número cualquiera mayor a 1, la anchura de la parábola se vuelve más grande: 

MÉTODO RESOLUCIÓN:

El método que se utiliza para la resolución de funciones cuadráticas es el siguiente: 

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA (en la vida cotidiana):

Empresas y Industrias:

Ingeniería. Las funciones cuadráticas se utilizan para diseñar y analizar estructuras y sistemas mecánicos, como puentes y edificios. Por ejemplo, la deflexión de una viga bajo una carga se puede modelar usando una función cuadrática.

Economía. Podemos usar funciones cuadráticas para modelar la relación entre la oferta y la demanda y para analizar el equilibrio del mercado. Es decir, nos permite entender la relación entre el precio y la cantidad ofrecida y demandada en un mercado.

Geometría. Las funciones cuadráticas son usadas para definir y analizar parábolas, que son el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de un punto fijo y una línea fija.

EJEMPLOS DE E. CUADRÁTICAS:

• Ecuación cuadrática estándar: ax^2 + bx + c = 0, se utiliza para resolver problemas en los que se conocen los valores de a, b y c.

• Ecuación cuadrática en forma de vértice: a(x – h)^2 + k = 0, encontrar el vértice de una parábola y para resolver problemas en los que se conocen los valores de a, h y k.

• Ecuación cuadrática en forma de factorización: (x – r1)(x – r2) = 0, encontrar las raíces de una ecuación cuadrática y para resolver problemas en los que se conocen los valores de r1 y r2.

• Ecuación cuadrática en forma de discriminante: x = (-b ± √b^2 – 4ac) / 2a, encontrar las raíces de una ecuación cuadrática y para resolver problemas en los que se conocen los valores de a, b y c.

• Ecuación cuadrática en forma de completar el cuadrado: (x + p)^2 = q, encontrar el vértice de una parábola y para resolver problemas en los que se conocen los valores de p y q.

FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. 

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que:

CARACTERÍSTICAS.

Dominio. 

El dominio de la función exponencial  f(x) = a^x  es el conjunto de todos los números reales.

Rango.

El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos, (0, \∞).

Crecimiento y decrecimiento.

• La función exponencial  f(x) = a^x  siempre pasa por el punto  (0, 1) . Esto se debe a que cualquier número positivo elevado a la potencia de 0 es 1, es decir,  a^0 = 1.

Si  b > 1 , la función  f(x) = a \cdot b^x  crece exponencialmente a medida que  x  aumenta. Esto se debe a que una base mayor que 1 elevada a un exponente creciente resulta en valores cada vez mayores.

 • Si  0 < b < 1 , la función  f(x) = a \cdot b^x  decrece exponencialmente a medida que  x  aumenta. Esto se debe a que una base entre 0 y 1 elevada a un exponente creciente resulta en valores cada vez menores. 

Asíntotas.

Una función exponencial tiene una asíntota horizontal en  y = 0 . Esto significa que a medida que  x  tiende a  \infty  o  -\infty , el valor de  f(x)  se aproxima a 0 pero nunca lo alcanza. La función nunca cruza la línea  y = 0.

Comportamiento a largo plazo.

Cuando "b" es mayor que 1, la función tiende a infinito a medida que "x" tiende a infinito, y tiende a 0 a medida que "x" tiende a menos infinito. Por otro lado, cuando "b" está entre 0 y 1, la función tiende a 0 a medida que "x" tiende a infinito, y tiende a infinito a medida que "x" tiende a menos infinito. Espero que esto aclare la descripción del comportamiento de la función en relación con el parámetro "b".

Transformaciones.

 • Desplazamiento Horizontal: Si sumas una constante al valor de  x , la gráfica se mueve horizontalmente. Se desplaza hacia la derecha si la constante es positiva y hacia la izquierda si es negativa.

 • Desplazamiento Vertical: Si sumas una constante a la función, la gráfica se mueve verticalmente. Se desplaza hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa.

 • Reflexión y Estiramiento/Compresión:

 • Multiplicar la función por -1 refleja la gráfica sobre el eje X.

 • Multiplicar  x  por un número mayor que 1 comprime la gráfica horizontalmente.

 • Multiplicar  x  por un número entre 0 y 1 estira la gráfica horizontalmente.

LEYES DE LOS EXPONENTES.

Las leyes de los exponentes son el conjunto de reglas establecidas para resolver las operaciones matemáticas con potencias.

La potencia o potenciación consiste en la multiplicación de un número por sí mismo varias veces, y se representan gráficamente de la siguiente manera: xy.

El número que se ha de multiplicar por sí mismo es llamado base y el número de veces por el que se ha de multiplicar es llamado exponente, el cual debe situarse a la derecha y arriba de la base.

MODELO GRÁFICO.

Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma f(x)=bx cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función f(x)=2x. Observe cómo cambian los valores de salida en la Tabla 1 cuando la entrada aumenta en 1.

Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, 2. Designamos la base 2 el cociente constante. De hecho, para cualquier función exponencial con la forma f(x)=abx, b es el cociente constante de la función. Esto significa que al aumentar la entrada en 1, el valor de la salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de a.

Observe en la tabla que los valores de salida son positivos para todos los valores de x; a medida que x aumenta, los valores de salida aumentan sin límite, y a medida que x disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, para acercarse a cero.

BIBLIOGRAFÍAS:

• https://uapas2.bunam.unam.mx/matematicas/dominio_codominio_grafica
• https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Suave_Introducci%C3%B3n_al_Arte_de_las_Matem%C3%A1ticas_(Campos)/06%3A_Relaciones_y_Funciones/6.01%3A_Relaciones
• https://concepto.de/funcion-matematica/
• https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/45/sistema-de-ecuaciones-lineales
• https://www.matematica.pt/es/util/calculadora-ecuaciones-cuadraticas.php